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<title> Ejercicios con solución. </title>
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<div id="active" class="withoutChild">Ejercicios con solución.</div>
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<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">Ejercicios con solución.</p></div>
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<div id="ta47_1" class="block" style="display:block">
<p>
<u><b>
EJERCICIO 1:</b></u><br />
<br />
Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea:
</p>
<p>
a) Compatible determinado<br />
b) Compatible indeterminado<br />
c) Incompatible<br />
Justifica en cada caso tus respuestas
</p>
<p>
</p>
<p>
<b>
- Solución:</b>
</p>
<p>
a) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, no puede ser compatible determinado; con solo dos datos (ecuaciones) no podemos averiguar tres incógnitas.
</p>
<p>
<br />
b) Por ejemplo:
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left.\begin{matrix}%20X+Y+Z=3\\%20X-Z=1\\%20\end{matrix}\right\}" title="\left.\begin{matrix} X+Y+Z=3\\ X-Z=1\\ \end{matrix}\right\}" /> Tiene infinitas soluciones, que serían de la forma:
</p>
<p>
<img src="eXe_LaTeX_math_4.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_4.1.gif.tex" exe_math_size="4" /> <img src="eXe_LaTeX_math_6.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_6.1.gif.tex" exe_math_size="4" /> <img src="eXe_LaTeX_math_8.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_8.gif.tex" exe_math_size="4" /> <img src="eXe_LaTeX_math_11.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_11.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
</p>
<p>
c) Tendrían que ser dos ecuaciones contradictorias. Por ejemplo:
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left.\begin{matrix}%20X+Y+Z=3\\%20X+Y+Z=4\\%20\end{matrix}\right\}" title="\left.\begin{matrix} X+Y+Z=3\\ X+Y+Z=4\\ \end{matrix}\right\}" /> Es incompatible; no se pueden dar las dos ecuaciones a la vez.
</p>
<p>
</p>
<p>
<u><b>EJERCICIO 2:</b></u>
</p>
<p>
a) Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o incompatible:
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{matrix}%203x-2y+4z=6\\%202x+4y-z=3\\%20x+2y+3z=1%20\end{matrix}\right." title="\left\{\begin{matrix} 3x-2y+4z=6\\ 2x+4y-z=3\\ x+2y+3z=1 \end{matrix}\right." />
</p>
<p>
b) ¿Podríamos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de las ecuaciones? Razónalo.
</p>
<p>
</p>
<p>
-<b> Solución: </b>
</p>
<p>
a) Observamos que la tercera ecuación es suma de las dos primeras, salvo en el término independiente que, en lugar de un 9, es un 1. Por tanto, la tercera ecuación contradice las dos primeras. El sistema es incompatible.
</p>
<p>
<br />
b) No. Si suprimimos una de las ecuaciones, obtendremos un sistema con tres incógnitas y solo dos ecuaciones. Este nuevo sistema podría ser compatible indeterminado (en este caso lo sería), pero no compatible determinado.
</p>
<p>
</p>
<p>
<br />
<u><b>EJERCICIO 3:</b></u>
</p>
<p>
En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.
</p>
<p>
<br />
a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?<br />
b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?
</p>
<p>
<br />
- <b>Solución:</b><br />
a) Llamemos x al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños.<br />
Como hay 22 personas, tenemos que:
</p>
<p>
<br />
x + y + z = 22
</p>
<p>
Con el otro dato, planteamos otra ecuación:
</p>
<p>
2y + 3z = 2x
</p>
<p>
<br />
Solo con estos datos no podemos saber el número de hombres (ni el de mujeres, ni el de niños) que hay. Es un sistema compatible indeterminado; como tenemos tres incógnitas, para que pueda ser compatible determinado, necesitamos otra ecuación.
</p>
<p>
b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el sistema:
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20X+Y+Z=22%5C%5C%20-2X+2Y+3Z=0%20%5C%5C%20X=2Y%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5C%7D%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203Y+Z=22%20%5C%5C%20-2Y+3Z=0%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5C%7D%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20Z=22-3Y%5C%5C%20-2Y+66-9Y=0%5Cleft.%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5C%7D" title="\left.\begin{matrix} X+Y+Z=22\\ -2X+2Y+3Z=0 \\ X=2Y \end{matrix}\right\}\left.\begin{matrix} 3Y+Z=22 \\ -2Y+3Z=0\\ \end{matrix}\right\}\left.\begin{matrix} Z=22-3Y\\ -2Y+66-9Y=0\left. \end{matrix}\right\}" />
</p>
<p>
Z=22-18=4 Y=-66/-11=6 X= 12
</p>
<p>
Por tanto, hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños.
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
</div></div>
</div>
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