File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/1bachA/conicas/la hiperbola 2/451ejercicios_resueltos.html
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<title> 4.5.1-Ejercicios resueltos </title>
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<ul id="navlist">
<div><a href="index.html" class="withChild">4.- LA HIPÉRBOLA</a></div>
<div><a href="41definicin_y_componentes.html" class="withoutChild">4.1-Definición y componentes</a></div>
<div><a href="42ecuaciones_de_la_hiprbola.html" class="withoutChild">4.2-Ecuaciones de la hipérbola</a></div>
<div><a href="43asntotas_de_la_hiprbola.html" class="withoutChild">4.3-Asíntotas de la hipérbola</a></div>
<div><a href="44propiedades_de_la_hiprbola.html" class="withoutChild">4.4-Propiedades de la hipérbola</a></div>
<div><a href="45ejercicios.html" class="withChild">4.5-Ejercicios</a></div>
<div id="subnav" class="withoutChild">
<div id="active" class="withoutChild">4.5.1-Ejercicios resueltos</div>
<div><a href="452actividades_para_resolver.html" class="withChild">4.5.2-Actividades para resolver</a></div>
</div>
</ul>
</div>
<div id="main">
<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">4.5.1-Ejercicios resueltos</p></div>
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<div id="ta12_1" class="block" style="display:block">
</div></div>
</div>
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<div id="ta13_1" class="block" style="display:block"><p class="MsoNormal">
<span class="apple-style-span"><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black">1.</span></b></span><span class="apple-converted-space"><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"> </span></b></span><span class="apple-style-span"><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black">Los focos y los
vértices de una hipérbola son los puntos:</span></b></span><span class="apple-converted-space"><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"> </span></b></span><span class="apple-style-span"><b><i><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black">F(5,
0), F’(-5,
0), V<sub>1</sub>(4, 0)</span></i></b></span><span class="apple-converted-space"><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"> </span></b></span><span class="apple-style-span"><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black">y</span></b></span><span class="apple-converted-space"><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"> </span></b></span><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"><br />
<span class="apple-style-span"><i>V<sub>2</sub>(-4, 0)</i>,
respectivamente.
Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las
asíntotas. </span><span class="apple-converted-space"> </span><br />
<span class="apple-style-span"> </span></span></b><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" height="237" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: green; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 52.5pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="70">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: white">SOLUCIÓN</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
<td style="padding: 0cm; width: 227.25pt" width="303"> </td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" style="padding: 0cm; width: 465pt" valign="top" width="620">
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">
<hr style="color: green" noshade="noshade" size="1" width="100%" align="center" />
</span></b>
</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" style="padding: 0cm; width: 465pt" width="620">
<p>
</p>
<p class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'">Como los
focos están sobre el eje <i>x</i>, la ecuación de la hipérbola es de
la
forma: <span><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter">
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0">
<v:f eqn="sum @0 1 0">
<v:f eqn="sum 0 0 @1">
<v:f eqn="prod @2 1 2">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @0 0 1">
<v:f eqn="prod @6 1 2">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="sum @8 21600 0">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @10 21600 0">
</v:f>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect">
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t">
</o:lock><v:shape id="Imagen_x0020_46" o:spid="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3055.gif" style="width: 83.25pt; height: 33.75pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3055">
</v:imagedata></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span>.
</span></b><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p>
</o:p></span></b>
</p>
<img src="file:///C:/Users/MARICA%7E1/AppData/Local/Temp/moz-screenshot-9.jpg" /><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_cs%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20-%20%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20=%201" />
<p>
</p>
<p>
<img src="file:///C:/Users/MARICA%7E1/AppData/Local/Temp/moz-screenshot-11.jpg" />
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">
</span></b><b><span style="font-size: 16pt; line-height: 115%; font-family: 'Arial','sans-serif'"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="Imagen_x0020_50" o:spid="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75"
alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3058.gif" style='width:261.75pt;
height:34.5pt;visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
<v:imagedata src="file:///C:\Users\MARICA~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.gif"
o:title="Image3058"/>
</v:shape><![endif]--><img src="file:///C:/Users/MARICA%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3058.gif" v:shapes="Imagen_x0020_50" height="24" width="344" /><!--[endif]--></span></b>
</p>
<img src="file:///C:/Users/MARICA%7E1/AppData/Local/Temp/moz-screenshot-10.jpg" />
<p>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div align="center">
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"> </span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="width: 465pt" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: #eebf60; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 465pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="620">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">2.
Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada
por: <span><v:shape id="Imagen_x0020_57" o:spid="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3065.gif" style="width: 90.75pt; height: 17.25pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3065">
</v:imagedata></v:shape></span>. Determine: coordenadas de los focos,
de los vértices,
ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. <o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"><o:p> </o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="width: 465pt" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: green; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 52.5pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="70">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: white">SOLUCIÓN</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
<td style="padding: 0cm; width: 227.25pt" width="303"> </td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" style="padding: 0cm; width: 465pt" valign="top" width="620">
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">
<hr style="color: green" noshade="noshade" size="1" width="100%" align="center" />
</span></b>
</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" style="padding: 0cm; width: 465pt" width="620">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">La
ecuación: <span><v:shape id="Imagen_x0020_59" o:spid="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3065.gif" style="width: 90.75pt; height: 17.25pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3065">
</v:imagedata></v:shape></span>, puede escribirse en las formas
equivalentes: <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_60" o:spid="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3066.gif" style="width: 254.25pt; height: 43.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3066">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"> <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_61" o:spid="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3067.gif" style="width: 122.25pt; height: 44.25pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3067">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"> <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">La
última ecuación corresponde a
una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje.<br />
<!--[if !supportLineBreakNewLine]--><br />
<!--[endif]--><o:p></o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="background-color: silver; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_62" o:spid="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/fig6.514.gif" style="width: 219pt; height: 199.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="fig6.514">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<br />
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">En
este caso: <span><v:shape id="Imagen_x0020_63" o:spid="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3068.gif" style="width: 147pt; height: 33pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3068">
</v:imagedata></v:shape></span>. Luego, <span><v:shape id="Imagen_x0020_64" o:spid="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3069.gif" style="width: 178.5pt; height: 30.75pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3069">
</v:imagedata></v:shape></span>. <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Con
estos datos, se tiene: <i>F(0,
4), F’(0, -4), V<sub>1</sub>(0, 3) y V<sub>2</sub>(0, -3).</i> <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Además
de la ecuación: <span><v:shape id="Imagen_x0020_65" o:spid="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3070.gif" style="width: 106.5pt; height: 42pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3070">
</v:imagedata></v:shape></span>, se deduce que las ecuaciones de las
asíntotas son las
rectas de ecuación: <span><v:shape id="Imagen_x0020_66" o:spid="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3071.gif" style="width: 96.75pt; height: 51pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3071">
</v:imagedata></v:shape></span> e <span><v:shape id="Imagen_x0020_67" o:spid="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3072.gif" style="width: 111pt; height: 51pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3072">
</v:imagedata></v:shape></span>. <o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: white">..</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="width: 465pt" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: #eebf60; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 465pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="620">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">3.
</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Una hipérbola cuyo centro es el punto <i>C(2, 3)</i>,
tiene sus
focos sobre la recta <i>y = 3</i>. Además, la distancia entre los
focos
es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades.
Trazar la
gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones
de las
asíntotas. <o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"><o:p> </o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="width: 465pt" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: green; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 52.5pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="70">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: white">SOLUCIÓN</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
<td style="padding: 0cm; width: 227.25pt" width="303">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p>
</o:p></span></b>
</p>
<br />
</td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" style="padding: 0cm; width: 465pt" width="620">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 12pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Como
la distancia entre los vértices es 8, se sigue que <i>a = 4</i>.
Igualmente, como <i>2c = 10</i>, se sigue que <i>c = 5</i> y
por lo tanto <i>b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> – a<sup>2</sup> =
9</i>. AsÍ que <i>b = 3.</i><o:p></o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="background-color: silver; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_68" o:spid="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/fig6.515.gif" style="width: 185.25pt; height: 175.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="fig6.515">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<br />
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Ahora,
puesto que los focos están
sobre la recta <i>y = 3 </i>(paralela al eje x), la ecuación de la
hipérbola pedida tiene la forma: <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_69" o:spid="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3073.gif" style="width: 378pt; height: 45pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3073">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Las
coordenadas de los focos
son: <span><v:shape id="Imagen_x0020_70" o:spid="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3074.gif" style="width: 69pt; height: 13.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3074">
</v:imagedata></v:shape></span> y <i>y = 3</i>. Esto es: <i>F(7, 3) y
F’(-3,
3)</i>.<br />
Igualmente, las coordenadas de los vértices son: <span><v:shape id="Imagen_x0020_71" o:spid="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3075.gif" style="width: 69.75pt; height: 13.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3075">
</v:imagedata></v:shape></span> y <i>y = 3. </i>Esto es, <i>V<sub>1</sub>(6,
3)</i> y<i>V<sub>2</sub>(-2, 3).</i> <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Además,
de la ecuación: <span><v:shape id="Imagen_x0020_72" o:spid="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3076.gif" style="width: 202.5pt; height: 50.25pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3076">
</v:imagedata></v:shape></span>, se deduce que: <span><v:shape id="Imagen_x0020_73" o:spid="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3077.gif" style="width: 279pt; height: 42pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3077">
</v:imagedata></v:shape></span>; y <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_74" o:spid="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3078.gif" style="width: 298.5pt; height: 41.25pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3078">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"> son las ecuaciones de las
asíntotas. <br />
<o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"> <o:p></o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="width: 465pt" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: #eebf60; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 465pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="620">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">4.
</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma
general es: 3y<sup>2</sup> –
x<sup>2</sup> + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro,
focos,
vértices y ecuaciones de las asíntotas. <o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"><o:p> </o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="width: 465pt" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: green; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 52.5pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="70">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: white">SOLUCIÓN</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
<td style="padding: 0cm; width: 227.25pt" width="303"> </td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" style="padding: 0cm; width: 465pt" width="620">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">La
ecuación general, puede escribirse en las formas
equivalentes:<o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_75" o:spid="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3079.gif" style="width: 285.75pt; height: 31.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3079">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_76" o:spid="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3080.gif" style="width: 426.75pt; height: 31.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3080">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_77" o:spid="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3081.gif" style="width: 243pt; height: 31.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3081">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_78" o:spid="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3082.gif" style="width: 200.25pt; height: 51.75pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3082">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 12pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Esta
última ecuación corresponde a
una hipérbola cuyo centro es el punto <i>C(2, 1)</i> y su eje focal
es una recta paralela al eje y que pasa por <i>C(2, 1)</i>. En esta
caso, <i>x = 2</i>.<o:p></o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="background-color: silver; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_79" o:spid="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/fig6.5.16.gif" style="width: 289.5pt; height: 206.25pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="fig6.5.16">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<br />
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Además,
<i>a<sup>2</sup> = 4, b<sup>2</sup> =
12</i>. Con lo cual: <span><v:shape id="Imagen_x0020_80" o:spid="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3083.gif" style="width: 147.75pt; height: 27pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3083">
</v:imagedata></v:shape></span>. <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Las
coordenadas de los focos
son: <i>x = 2 </i>e <span><v:shape id="Imagen_x0020_81" o:spid="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3084.gif" style="width: 73.5pt; height: 27pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3084">
</v:imagedata></v:shape></span>. Esto es <i>F(2, 5)</i> y <i>F’(2,
-3)</i>. Igualmente,
las coordenadas de los vértices son: <i>x = 2 </i>e <span><v:shape id="Imagen_x0020_82" o:spid="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3085.gif" style="width: 59.25pt; height: 21.75pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3085">
</v:imagedata></v:shape></span>. Esto es <i>V<sub>1</sub>(2, 3)</i> y
<i>V<sub>2</sub>(2,
-1)</i>. <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Las
ecuaciones de las asíntotas
son las rectas: <span><v:shape id="Imagen_x0020_83" o:spid="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3086.gif" style="width: 135.75pt; height: 51.75pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3086">
</v:imagedata></v:shape></span>,<span> </span>e, <span><v:shape id="Imagen_x0020_84" o:spid="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3087.gif" style="width: 150.75pt; height: 52.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3087">
</v:imagedata></v:shape></span>. <o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 13.5pt; text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: black"><o:p> </o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="width: 465pt" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: #eebf60; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 465pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="620">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 12pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">5
.</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE
(LORAN, por sus siglas en
inglés), una estación principal de radio y una estación secundaria
emiten
señales que pueden ser recibidas por un barco en el mar. Aunque un
barco
recibe siempre las dos señales, por lo regular se halla más cerca de
una de
las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las
distancias
que recorren las dos señales, lo cual se traduce en una pequeña
diferencia de
tiempo entre las señales registradas. Mientras la diferencia de
tiempo
permanezca constante, la diferencia de las dos distancias también
será
constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia
de
tiempo, seguirá la trayectoria de una hipérbola cuyos focos están
localizados
en las posiciones de las dos estaciones de radio. <o:p></o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="background-color: silver; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_85" o:spid="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/graficas/barco1.gif" style="width: 174pt; height: 139.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="barco1">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<br />
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 12pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Asi
que para cada diferencia de
tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperbólica diferente,
cada
una llevando al barco a una posición distinta en la costa. Las cartas
de
navegación muestran las diferentes rutas hiperbólicas
correspondientes a
diferencias de tiempo distintas. <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><span>
</span><span> </span>Dos estaciones LORAN están separadas
250 millas a lo largo de una costa recta.<br />
<br />
<span>a)</span> Un barco registra una
diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las señales LORAN.
Establezca un
sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde
el barco
alcanzará la costa si continúa sobre la trayectoria de la hipérbola
correspondiente a esta diferencia de tiempo. <o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">b)</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"> Si el
barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos
estaciones a 25 millas desde la estación principal, ¿qué diferencia
de tiempo
debe observar?. <br />
<span>c)</span> Si el barco está a 80
millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada,
¿cuál
es su ubicación exacta? (Nota: la velocidad de cada señal de radio es
de
186.000 millas/seg.). <o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: white">..</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<table class="MsoNormalTable" style="width: 465pt" width="620" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm; background-color: green; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; width: 52.5pt; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" width="70">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'; color: white">SOLUCIÓN</span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
</td>
<td style="padding: 0cm; width: 227.25pt" width="303"> </td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" style="padding: 0cm; width: 465pt" width="620">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><br />
<span>a.</span> Se puede establecer un
sistema de coordenadas rectangulares de tal forma que las dos
estaciones
estén sobre el eje x y el origen de coordenadas en la mitad del
camino entre
ellas.<o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p>
</o:p></span></b>
</p>
<div align="center">
<table class="MsoNormalTable" style="background-color: silver; background-image: none; background-repeat: repeat; background-attachment: scroll; background-position: 0% 50%; -moz-background-size: auto auto; -moz-background-clip: -moz-initial; -moz-background-origin: -moz-initial; -moz-background-inline-policy: -moz-initial" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 0cm">
<p class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; line-height: normal">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><v:shape id="Imagen_x0020_86" o:spid="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/graficas/barco2.gif" style="width: 174.75pt; height: 145.5pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="barco2">
</v:imagedata></v:shape></span></b><b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'"><o:p></o:p></span></b>
</p>
<br />
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">Como
la
diferencia de tiempo constante de las señales desde cada estación
implica una<u>diferencia
constante en la distancia</u> del barco a cada una de las estaciones,
se
deduce entonces que el barco está localizado sobre una hipérbola
cuyos focos
son las estaciones e radio. <br />
Ahora, <i>dif. dist. = Veloc. (dif. de tiempos)= 186.000 x 0.00086 =
160
millas.</i> <br />
Esto indique que <i>2a = 160</i> (recordar la definición de la
hipérbola) y de aquí <i>a = 80</i>, lo que indica que uno de los
vértices de la hipérbola está en el punto <i>V<sub>1</sub>(80, 0)</i>.
Ahora, como uno de los focos está en el punto <i>F(125, 0)</i> se
deduce
entonces que el barco siguiendo la trayectoria hiperbólica alcanzará
la costa
a <i>125 – 80 = 45</i> millas de la estación principal. <br />
<br />
<span>b.</span> Si el barco desea
entrar sobre la costa a 25 millas de la estación principal, esto
indica que
debe seguir una trayectoria hiperbólica cuyo vértice es el punto <i>V(100,
0)</i>. Asi que <i>2a = 200</i>(diferencia constante entre las
distancias del barco a cada estación). <br />
De esta forma: <span><v:shape id="Imagen_x0020_87" o:spid="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3088.gif" style="width: 290.25pt; height: 30.75pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3088">
</v:imagedata></v:shape></span>. <br />
<br />
<span>c. </span>Para encontrar la
ubicación exacta del barco, se necesita determinar la ecuación de la
hipérbola
cuyo vértice es <i>V(100, 0)</i> y uno de sus focos es <i>F(125,
0)</i>. <br />
Asi que <i>a = 100</i>, <i>c = 125</i>. Con lo cual, <i>b<sup>2</sup>
=
c<sup>2</sup> – a<sup>2</sup> = 5625.</i> <br />
De esta forma, la ecuación de la hipérbola viene dada por: <span><v:shape id="Imagen_x0020_88" o:spid="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3089.gif" style="width: 108pt; height: 33.75pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3089">
</v:imagedata></v:shape></span> <br />
Como el barco está a 80 millas sobre la costa, quiere decir que está
en el
punto <i>(x, 80)</i>sobre la hipérbola. En consecuencia, <span><v:shape id="Imagen_x0020_89" o:spid="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" alt="http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/imagenes19/Image3090.gif" style="width: 106.5pt; height: 33pt; visibility: visible">
<v:imagedata o:title="Image3090">
</v:imagedata></v:shape></span>, de donde <i>x = 146</i>.<o:p></o:p></span></b>
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center; line-height: normal" align="center">
<b><span style="font-size: 16pt; font-family: 'Arial','sans-serif'">
<br />
Por lo tanto, la ubicación exacta del barco es sobre la hipérbola en
el
punto <i>P(146, 80)</i>. </span></b>
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div></div>
</div>
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</body></html>