File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/2bachA/planoafin/posiciones_relativas_de_dos_rectas.html
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<title> POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS </title>
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<div><a href="index.html" class="withChild">TEMA ESPACIO AFÍN</a></div>
<div><a href="espacio_afn.html" class="withoutChild">ESPACIO AFÍN</a></div>
<div><a href="sistema_de_referencia_en_un_espacio_afn.html" class="withoutChild">SISTEMA DE REFERENCIA EN UN ESPACIO AFÍN</a></div>
<div><a href="vector_posicin.html" class="withoutChild">VECTOR POSICIÓN</a></div>
<div><a href="la_recta_en_el_espacio_afn.html" class="withoutChild">LA RECTA EN EL ESPACIO AFÍN</a></div>
<div id="active" class="withoutChild">POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS</div>
<div><a href="posiciones_relativas_de_dos_planos.html" class="withoutChild">POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS</a></div>
<div><a href="posiciones_relativas_de_una_recta_y_un_plano.html" class="withoutChild">POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO</a></div>
<div><a href="posiciones_relativas_de_tres_planos.html" class="withoutChild">POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS</a></div>
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<div><a href="examen__para_evaluar_nivel.html" class="withoutChild">EXAMEN PARA EVALUAR NIVEL</a></div>
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<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS</p></div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id15">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta15_1" class="block" style="display:block">
<div align="justify">
<font color="#000000"><b>Dos rectas pueden optar varias posiciones:</b><br />
<br />
a) Paralelas (mismo vector director pero distinto término independiente).<br />
b) Coincidentes (son la misma recta).<br />
c) Secantes.<br />
d) Cruzadas.<br />
<br />
<br />
Para saber el caso en el que nos encontramos primero debemos estudiar los vectores directores. <br />
<br />
- Si los vectores directores son iguales o proporcionales nos encontraremos en el caso a) o en el caso b).<br />
- Si los vectores directores no son linealmente dependientes, nos encontraremos por tanto, en el caso c) o d).</font>
<br />
</div>
</div></div>
</div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id16">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta16_1" class="block" style="display:block">
<p>
<font color="#000000"><br />
</font>
</p>
<div align="justify">
<font color="#000000">
<b>Caso a)</b></font>
</div>
<div align="justify">
</div>
<p align="justify">
<font color="#000000"> Dos rectas son paralelas cuando su vectores directores son proporcionales uno de otro, y lo que varía es su término independiente, por eso, no comparten ningún punto (Sistema Incompatible). Se determinan:</font>
</p>
<div align="justify">
</div>
<p align="justify">
<font color="#000000"><img src="eXe_LaTeX_math_2.3.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.3.gif.tex" exe_math_size="4" /></font>
</p>
<div align="justify">
</div>
<p align="justify">
<font color="#000000">De donde <img src="eXe_LaTeX_math_6.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_6.1.gif.tex" exe_math_size="4" /></font><font color="#000000"> es el vector director de la primera recta, <img src="eXe_LaTeX_math_25.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_25.gif.tex" exe_math_size="4" /></font><font color="#000000"> el vector de la segunda recta yd el término independiente de cada una de ellas.</font>
</p>
<div align="justify">
</div>
<p align="justify">
<font color="#000000"><img src="GRAFICA.1.jpg" height="202" width="619" /></font>
</p>
<p align="justify">
<font color="#000000"> </font>
</p>
<div align="justify">
<font color="#3366ff"><b>Ejemplo:</b></font><br />
<br />
<font color="#000000">r: x + 2y + 3z + 4 = 0 </font><br />
<font color="#000000">s: 2x + 4y + 6z + 13 = 0</font>
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<img src="eXe_LaTeX_math_2.15.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.15.gif.tex" exe_math_size="4" height="35" width="128" /><br />
<br />
<br />
<font color="#000000">Caso b) </font>
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<font color="#000000">Dos rectas son coincidentes cuando sus vectores directores y por tanto comparten infinitos puntos (Sistema Compatible Indeterminado). Se determina:</font><br />
<br />
<font color="#000000"></font>
</div>
<div align="justify">
<font color="#000000"></font><br />
<br />
<font color="#000000"> </font><img src="eXe_LaTeX_math_2.4.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.4.gif.tex" exe_math_size="4" /><br />
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<img src="pa.png" height="282" width="578" /> <br />
</div>
<div align="justify">
<font color="#3366ff"><b>Ejemplo:</b></font><br />
<br />
<font color="#000000">r: x + 2y + 3z + 4 = 0 vr = (1,2,3)</font><br />
<font color="#000000">s: 2x + 4y + 6z + 8 = 0 vs= (2,4,6) </font>
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<img src="eXe_LaTeX_math_4.9.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_4.9.gif.tex" exe_math_size="4" height="36" width="118" /><br />
<br />
<br />
<b><font color="#000000">Caso c)</font></b>
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<font color="#000000"> Se dicen que dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto. (Sistema Compatible Determinado) </font><br />
<br />
<font color="#000000">Se estudia a través de determinantes, formándose éste por los vectores directores de ambas y en una tercera columna o fila se coloca el vector director AB de dónde A es el punto perteneciente a la primera recta y B el punto perteneciente a la segunda recta.</font><br />
<br />
<font color="#000000">Si dicho determinante es igual a 0, es porque la recta se cortan en un mismo plano, por la propiedad de los determinantes que el vector </font><img src="eXe_LaTeX_math_33.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_33.gif.tex" exe_math_size="4" /><font color="#000000"> es combinación lineal de los vectores de ambas rectas</font><br />
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<img src="GRAFICA.png" height="263" width="522" /><br />
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<b><font color="#000000">Caso d)</font></b>
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<font color="#000000"> Dos rectas se cruzan cuando sus vectores directores no son proporcionales y no comparten ningún punto. (Sistema Incompatible)</font><br />
<br />
<font color="#000000">Se determina por la misma forma que en el caso c) a diferencia de que si el determinante es diferente a 0 es porque las rectas están en diferentes planos y ambas no comparten ninguna solución.</font><br />
<br />
<font color="#3366ff"><b>Ejemplo:</b></font>
</div>
<div align="justify">
<font color="#3366ff"><b></b></font><br />
<font color="#000000">r: </font><img src="eXe_LaTeX_math_6.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_6.2.gif.tex" exe_math_size="4" /><font color="#000000"> <b>Donde el vector es </b></font><img src="eXe_LaTeX_math_15.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_15.2.gif.tex" exe_math_size="4" /><font color="#000000"><b> y el punto A (1,0,-3)</b></font><br />
<br />
<font color="#000000">s: <b><img src="eXe_LaTeX_math_2.11.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.11.gif.tex" exe_math_size="4" /> Donde el vector es </b></font><img src="eXe_LaTeX_math_17.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_17.2.gif.tex" exe_math_size="4" /><font color="#000000"><b> y el punto B (0,-1,2).</b></font>
</div>
<div align="justify">
<font color="#000000"><b>vamos a comprobar si estos dos vectores son combinación lineal uno de otro: </b></font>
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<font color="#000000"><img src="eXe_LaTeX_math_4.4.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_4.4.gif.tex" exe_math_size="4" /> </font>
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<b>calculamos el vector </b><img src="eXe_LaTeX_math_5.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_5.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</div>
<div align="justify">
<img src="eXe_LaTeX_math_8.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_8.1.gif.tex" exe_math_size="4" /> .
</div>
<div align="justify">
<font color="#000000"><b>Hacemos el determinante con los tres vectores obtenidos ( </b></font><img src="eXe_LaTeX_math_12.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_12.1.gif.tex" exe_math_size="4" />)
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<img src="eXe_LaTeX_math_19.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_19.1.gif.tex" exe_math_size="4" /> <br />
</div>
<div align="justify">
<br />
<img src="GRAFICA.2.jpg" height="277" width="441" /><br />
<font color="#000000">(h=distancia que separa a las dos rectas)</font>
</div>
</div></div>
</div>
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</div>
</div>
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