File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/2bachA/integralesdefinidas2/33regla_de_barrow.html
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<!-- Created using eXe: http://exelearning.org -->
<head>
<style type="text/css">
@import url(base.css);
@import url(content.css);
@import url(nav.css);</style>
<title> 3.3.Regla de Barrow. </title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<script type="text/javascript" src="common.js"></script>
</head>
<body>
<div id="content">
<div id="navcontainer">
<ul id="navlist">
<div><a href="index.html" class="withChild">APLICACIONES DE LAS INTEGRALES.</a></div>
<div><a href="1rea_definida_bajo_una_curva.html" class="withoutChild">1.Área definida bajo una curva</a></div>
<div><a href="2integral_definida_en_una_funcin_continua.html" class="withChild">2.Integral definida en una función continua</a></div>
<div><a href="3teorema_fundamental_de_clculo_integralregla_de_barrow.html" class="withChild">3.Teorema fundamental de cálculo integral.Regla de Barrow.</a></div>
<div id="subnav" class="withoutChild">
<div><a href="31teorema_del_valor_medio.html" class="withoutChild">3.1.Teorema del valor medio</a></div>
<div><a href="32teorema_fundamental_del_clculo_integral.html" class="withoutChild">3.2.Teorema fundamental del cálculo integral.</a></div>
<div id="active" class="withoutChild">3.3.Regla de Barrow.</div>
</div>
<div><a href="4aplicacin_de_la_integral_definida_al_clculo_de_reas_de_figuras_planas.html" class="withChild">4.Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas de figuras planas.</a></div>
<div><a href="5aplicaciones_de_la_integral_definida_al_clculo_de_volmenes.html" class="withChild">5.Aplicaciones de la integral definida al cálculo de volúmenes.</a></div>
<div><a href="6otras_aplicaciones_de_la_integral_definida.html" class="withoutChild">6.Otras aplicaciones de la integral definida.</a></div>
<div><a href="7actividades.html" class="withoutChild">7.Actividades</a></div>
</ul>
</div>
<div id="main">
<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">3.3.Regla de Barrow.</p></div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id3">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta3_1" class="block" style="display:block"><table style="border: 0pt solid #000000; background-color: #b5f6b9" align="left" border="0" height="472" width="287">
<tbody>
<tr>
<td>
<p>
<img src="300px-Isaac_Barrow[1].jpg" height="200" width="168" />
</p>
<p>
<b>ISAAC BARROW</b>
</p>
<p>
(1630-1677)Matemático y teólogo
</p>
<p>
inglés.Profesor en Cambridge,en 1669
</p>
<p>
renunció a su cátedra en favor de Isaac
</p>
<p>
Newton cuando comprobó los progresos
</p>
<p>
de su discípulo.Realizó importantes
</p>
<p>
aportaciones que propiciaron el nacimiento
</p>
<p>
del cálculo infinitesimal,entre ellas la conocida
</p>
<p>
"regla de Barrow".
</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>
Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f , es decir, F'=f, para todo x <img src="eXe_LaTeX_math_2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.gif.tex" exe_math_size="4" /> [a,b], entonces: <img src="eXe_LaTeX_math_3.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_3.gif.tex" exe_math_size="4" />.
</p>
<p>
En efecto, sea F una primitiva cualquiera de f. Por el teorema fundamental del cálculo integral sabemos que <img src="eXe_LaTeX_math_5.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_5.1.gif.tex" exe_math_size="4" /> es una primitiva de f(x). Por tanto, podemos escribir:<img src="eXe_LaTeX_math_7.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_7.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
Para x=a,<img src="eXe_LaTeX_math_9.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_9.gif.tex" exe_math_size="4" /> , por tanto, <img src="eXe_LaTeX_math_11.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_11.gif.tex" exe_math_size="4" />, de donde <img src="eXe_LaTeX_math_13.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_13.gif.tex" exe_math_size="4" />. Es decir, <img src="eXe_LaTeX_math_15.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_15.gif.tex" exe_math_size="4" />.
</p>
<p>
Sustituyendo x por b, tenemos que: <img src="eXe_LaTeX_math_17.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_17.gif.tex" exe_math_size="4" /> .
</p>
<p>
Así pues, para calcular una integral definida de la función f basta con calcular una primitiva cualquiera de dicha función y restar sus valores en el extremo superior y en el extremo inferior,respectivamente.
</p>
<p>
<font size="3"><b>EJEMPLOS:</b></font>
</p>
<p>
<b>1.</b>Calcular <img src="eXe_LaTeX_math_6.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_6.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
Calculamos por partes la integral indefinida:
</p>
<p>
</p>
<p>
<img src="eXe_LaTeX_math_8.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_8.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
</p>
<p>
Aplicamos la regla de Barrow a la primitiva más sencilla (C=0):
</p>
<p>
<img src="eXe_LaTeX_math_10.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_10.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
</p>
<p>
<b>2.</b>Calcular <img src="eXe_LaTeX_math_2.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
Calculamos la integral indefinida mediante un cambio de variable:
</p>
<p>
<img src="eXe_LaTeX_math_5.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_5.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
Aplicamos la regla de Barrow a la primitiva más sencilla y obtenemos:
</p>
<p>
<img src="eXe_LaTeX_math_7.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_7.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
También se puede calcular esta integral sin deshacer el cambio, sustituyendo los límites de integración en función de la nueva variable. En este caso,como <img src="eXe_LaTeX_math_9.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_9.1.gif.tex" exe_math_size="4" /> si x=0, entonces t=0, y si x=4, entonces t=2. Por tanto:
</p>
<p>
<img src="eXe_LaTeX_math_11.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_11.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
</p>
<p>
<b>3.</b><i>Hallar el valor medio de la función f(x)=2x<sup>2</sup>+1 en el intervalo [1,3] y averiguar en qué punto se alcanza.</i>
</p>
<p>
El teorema del valor medio afirma que si f es continua en [a,b], entonces existe c <img src="eXe_LaTeX_math_2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.gif.tex" exe_math_size="4" /> [a,b] tal que:
</p>
<p align="center">
<img src="eXe_LaTeX_math_14.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_14.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
Aplicando la regla de Barrow, si F es una primitiva de f, tenemos que:
</p>
<div align="center">
<img src="eXe_LaTeX_math_16.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_16.1.gif.tex" exe_math_size="4" /><br />
</div>
<div align="left">
</div>
<div align="left">
En nuestro caso, <img src="eXe_LaTeX_math_18.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_18.1.gif.tex" exe_math_size="4" />, de donde,<img src="eXe_LaTeX_math_20.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_20.1.gif.tex" exe_math_size="4" /> es el valor medio buscado.
</div>
<div align="left">
Este se alcanza en el punto del intervalo en que <img src="eXe_LaTeX_math_22.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_22.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</div>
<div align="left">
</div>
<div align="left">
Se resuelve la ecuación y se obtiene x=2,08
</div>
<div align="left">
</div>
<div align="left">
</div>
<div align="left">
<b>4.</b><i>Comprobar que la derivada de </i><img src="eXe_LaTeX_math_24.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_24.1.gif.tex" exe_math_size="4" /> <i>es </i><img src="eXe_LaTeX_math_26.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_26.gif.tex" exe_math_size="4" />.
</div>
<div align="left">
</div>
<div align="left">
<img src="eXe_LaTeX_math_28.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_28.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</div>
<div align="left">
</div>
<div align="left">
<img src="eXe_LaTeX_math_30.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_30.gif.tex" exe_math_size="4" /> <br />
</div>
<div align="left">
</div>
<p align="center">
</p>
<p align="center">
</p>
</div></div>
</div>
<div class="CasestudyIdevice" id="id4">
<div class="iDevice emphasis1">
<img alt="Icono de iDevice" class="iDevice_icon" src="icon_casestudy.gif"/>
<span class="iDeviceTitle">ACTIVIDADES</span>
<div class="iDevice_inner">
<div id="ta4_10" class="block" style="display:block"><b>1.</b>Calcula las siguientes integrales definidas:
</div><div class="question">
<div id="taquesQuestion0b4" class="block" style="display:block">
<p>
<b>a)</b><img src="eXe_LaTeX_math_2.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
</p>
<p>
<b>b)</b><img src="eXe_LaTeX_math_4.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_4.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
<b>c)</b><img src="eXe_LaTeX_math_6.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_6.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
<b>d)</b><img src="eXe_LaTeX_math_8.3.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_8.3.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
</div><div id="viewq0b4" style="display:block;"><input type="button" name="btnshowq0b4" value="Mostrar Información" class="feedbackbutton" onclick="showAnswer('q0b4',1)"/>
</div><div id="hideq0b4" style="display:none;"><input type="button" name="btnhideq0b4" value="Ocultar Información" class="feedbackbutton" onclick="showAnswer('q0b4',0)"/>
<p></p></div><div id="sq0b4" class="feedback" style=" display: none;"><div id="taquesFeedback0b4" class="block" style="display:block">
<p>
<b>a)</b><img src="eXe_LaTeX_math_10.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_10.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
</p>
<p>
<b>b)</b><img src="eXe_LaTeX_math_12.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_12.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
<b>c)</b><img src="eXe_LaTeX_math_14.1.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_14.1.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
<b>d)</b><img src="eXe_LaTeX_math_16.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_16.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
</div></div><br/>
</div>
<div class="question">
<div id="taquesQuestion1b4" class="block" style="display:block"><p>
<b>2.</b>Halla la derivada de las siguientes funciones:
</p>
<p>
</p>
<p>
<b>a)</b><img src="eXe_LaTeX_math_2.3.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.3.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
<b>b)</b><img src="eXe_LaTeX_math_4.2.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_4.2.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
<b>c)</b><img src="eXe_LaTeX_math_6.3.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_6.3.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
</div><div id="viewq1b4" style="display:block;"><input type="button" name="btnshowq1b4" value="Mostrar Información" class="feedbackbutton" onclick="showAnswer('q1b4',1)"/>
</div><div id="hideq1b4" style="display:none;"><input type="button" name="btnhideq1b4" value="Ocultar Información" class="feedbackbutton" onclick="showAnswer('q1b4',0)"/>
<p></p></div><div id="sq1b4" class="feedback" style=" display: none;"><div id="taquesFeedback1b4" class="block" style="display:block"><p>
<b>a)</b><img src="eXe_LaTeX_math_8.4.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_8.4.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
</p>
<p>
<b>b)</b><img src="eXe_LaTeX_math_10.3.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_10.3.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
</p>
<p>
<b>c)</b><img src="eXe_LaTeX_math_12.3.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_12.3.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
</div></div><br/>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div class="noprt" align="right"><a href="32teorema_fundamental_del_clculo_integral.html">« Anterior</a> | <a href="4aplicacin_de_la_integral_definida_al_clculo_de_reas_de_figuras_planas.html"> Siguiente »</a></div>
</div>
</div>
</body></html>