File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/2bachA/derivadas/171regla_de_la_cadena.html
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<title> 1.7.1.-Regla de la cadena </title>
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<div id="content">
<div id="navcontainer">
<ul id="navlist">
<div><a href="index.html" class="withChild">1.-DERIVADAS</a></div>
<div><a href="11concepto_derivada.html" class="withoutChild">1.1.-Concepto derivada</a></div>
<div><a href="12funcin_derivada.html" class="withoutChild">1.2.-Función derivada</a></div>
<div><a href="13tasa_de_variacin.html" class="withChild">1.3.-Tasa de variación</a></div>
<div><a href="14derivada_de_una_funcin_en_un_punto.html" class="withChild">1.4.-Derivada de una función en un punto</a></div>
<div><a href="15derivadas_laterales.html" class="withoutChild">1.5.-Derivadas laterales</a></div>
<div><a href="16derivadas_de_las_funciones_a_trozos.html" class="withoutChild">1.6.-Derivadas de las funciones a trozos</a></div>
<div><a href="17dervidas_sucesivas.html" class="withChild">1.7.-Dervidas sucesivas</a></div>
<div id="subnav" class="withChild">
<div id="active" class="withChild">1.7.1.-Regla de la cadena</div>
<div id="subnav" class="withChild">
<div><a href="2aplicaciones_de_las_derivadas.html" class="withChild">2.-Aplicaciones de las derivadas</a></div>
</div>
</div>
<div><a href="imgenes.html" class="withoutChild">Imágenes</a></div>
</ul>
</div>
<div id="main">
<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">1.7.1.-Regla de la cadena</p></div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id24">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta24_1" class="block" style="display:block"><p>
La <b>regla de la cadena</b> es una fórmula para la derivada de
la composición de dos funciones.
</p>
<p>
EJEMPLO: <img src="eXe_LaTeX_math_2.5.gif" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_2.5.gif.tex" exe_math_size="4" />
</p>
<p>
En cálculo, la <b>regla de la cadena</b> es una fórmula
para la derivada de la
composición de dos funciones. Tiene
aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe
composición de funciones.
</p>
<h3><span class="mw-headline" id="Descripci.C3.B3n_de_la_regla">Descripción
de
la
regla</span></h3>
<p>
En términos intuitivos, si una variable
<i>y</i>, depende de una segunda variable <i>u</i>, que a la vez
depende de una tercera variable <i>x</i>; entonces, la razón de cambio
de <i>y</i> con respecto a <i>x</i> puede ser computado como el producto
de la razón de cambio de <i>y</i>
con respecto a <i>u</i> multiplicado por la razón de cambio de <i>u</i>
con respecto a <i>x</i>.
</p>
</div></div>
</div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id32">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta32_1" class="block" style="display:block"><center>
<p align="left">
<font color="#000000" face="Verdana" size="2">Si
pretendemos calcular la
derivada de esta función a partir del conocimiento que tenemos
de las
funciones elementales vistas anteriormente procedamos de la
siguiente
forma:</font>
</p>
<p align="center">
<font color="#000000" face="Verdana"><img src="http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funcion_derivada/deriv_comp.gif" height="40" width="449" border="0" /></font>
</p>
</center>
<p align="left">
<font color="#000000" face="Verdana" size="2">lo
que significa, que si
variamos x una cantidad h, obtenemos una variación g(x+h)-g(x) de
la
función g, a su vez como la función f depende de g, esta variación
de g
produce una variación en f: f(g(x+h)-f(g(x))</font>
</p>
<p align="left">
<font color="#000000" face="Verdana" size="2">La
tasa de variación media de
g(x) respecto de la variación de x es</font>
</p>
<p align="center">
<font color="#000000" face="Verdana" size="2"><img src="http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funcion_derivada/deriv_comp3.gif" height="36" width="88" border="0" /></font>
</p>
<p align="left">
<font color="#000000" face="Verdana" size="2">a la
vez que la tasa de
variación media de f(g(x)) respecto de la variación de g(x) es</font>
</p>
<p align="center">
<font color="#000000" face="Verdana" size="2"><img src="http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funcion_derivada/deriv_comp2.gif" height="40" width="116" border="0" /></font>
</p>
<p align="left">
<font color="#000000" face="Verdana" size="2">si
pasamos al limite cuando x
tiende a 0, también g(x+h)-g(x) tenderá a 0 por ser derivable (y
por
tanto continua) de lo que se deduce la siguiente regla de
derivación de
la función compuesta:</font>
</p>
<p align="center">
<font color="#993366" face="Verdana" size="2"><b>D<sub>x</sub>[f(g(x))]
=
D<sub>g</sub>[f(g(x)]·D<sub>x</sub>[g(x)]</b></font>
</p>
<p align="left">
<font color="#000000"><font face="Verdana" size="2">Este resultado se conoce como
regla de la cadena donde la función g(x) hace de variable
intermedia o de
paso para derivar la función compuesta f</font><font face="Verdana" size="1"> o
</font><font face="Verdana" size="2"> g respecto de la variable
independiente x, que podemos expresar así:</font></font>
</p>
<p align="left">
<b><font color="#993366"><font face="Verdana" size="2">"La derivada de (f </font>
<font face="Verdana" size="1"> o</font><font face="Verdana" size="2">
g)(x) respecto de x es igual al producto de la derivada de (f </font>
<font face="Verdana" size="1"> o</font><font face="Verdana" size="2"> g) respecto
de g, por la derivada de g respecto de x".</font></font></b>
</p>
</div></div>
</div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id33">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta33_1" class="block" style="display:block"><p align="left">
<font color="#006699" face="Verdana" size="2"><b>Ejemplo1:</b></font>
</p>
<p align="left">
<font color="#006699" face="Verdana" size="2">f(x)
= sen (x<sup>2</sup>)<sup>
</sup>es una función compuesta de la función potencial g(x)=x<sup>2
</sup>y
una trigonométrica f(g) = sen(g)</font>
</p>
<p align="left">
<font color="#006699" face="Verdana" size="2">Por
tanto</font>
</p>
<p align="center">
<font color="#006699" face="Verdana" size="2">D<sub>x</sub>[sen(x<sup>2</sup>)]
= D<sub>g</sub>[sen(g)]·D<sub>x</sub>[g(x)] = cos(g)·2x =cos(x<sup>2</sup>)·2x
= 2xcos(x<sup>2</sup>)</font>
</p>
<center>
<p align="left">
<font color="#006699" face="Verdana" size="2"><b>Ejemplo
2:</b></font>
</p>
<p align="left">
<font color="#006699" face="Verdana" size="2">f(x)
= sen<sup>2</sup>(x) es
una función compuesta de una trigonométrica g(x)=sen(x) y de
una potencial f(g)=g<sup>2</sup> </font>
</p>
<p align="left">
<font color="#006699" face="Verdana" size="2">Por
tanto </font>
</p>
<p align="center">
<font color="#006699" face="Verdana" size="2">D<sub>x</sub>[sen<sup>2</sup>(x)]
= D<sub>g</sub>[g<sup>2</sup>]·D<sub>x</sub>[g(x)] = 2g·cos x =
2sen(x)·cos(x)</font>
</p>
</center>
</div></div>
</div>
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<param name="G_00" value="tipo=ecuación expresión='x=5' color=grisClaro visible=no">
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<param name="G_06" value="tipo=curva expresión='[t,g(t)]' color=gris visible=no parámetro=t t.intervalo=[-2,4] t.pasos=400">
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<param name="G_08" value="tipo=curva expresión='[t,f(t)]' color=gris visible=no parámetro=t t.intervalo=[-2,4] t.pasos=400">
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<param name="G_14" value="tipo=texto expresión='[0,0]' color=turquesa texto='y=g(x)=sen(x)'">
<param name="G_15" value="tipo=texto expresión='[0,20]' color=verde texto='y=f(x)=x^2'">
<param name="G_16" value="tipo=texto expresión='[0,40]' color=turquesa texto='dg=g(x+h)-g(x)=g([x0+h])-g([x0])=[g(x0+h)]-[g(x0)]=[g(x0+h)-g(x0)]'">
<param name="G_17" value="tipo=texto expresión='[0,60]' color=verde texto='d(fg)=f(g(x+h))-f(g(x))=f([g(x0+h)])-f([g(x0)])=[fg(x0+h)-fg(x0)]'">
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<font face="Arial" size="3">Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java <a href="http://java.sun.com/javase/downloads/index.jsp" target="_blank">J2RE</a>.</font>
</applet>
<br/></div>
</div>
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