File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/2bachA/derivadas/14derivada_de_una_funcin_en_un_punto.html
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<title> 1.4.-Derivada de una función en un punto </title>
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<div id="navcontainer">
<ul id="navlist">
<div><a href="index.html" class="withChild">1.-DERIVADAS</a></div>
<div><a href="11concepto_derivada.html" class="withoutChild">1.1.-Concepto derivada</a></div>
<div><a href="12funcin_derivada.html" class="withoutChild">1.2.-Función derivada</a></div>
<div><a href="13tasa_de_variacin.html" class="withChild">1.3.-Tasa de variación</a></div>
<div id="active" class="withChild">1.4.-Derivada de una función en un punto</div>
<div id="subnav" class="withoutChild">
<div><a href="141interpretacin_geomtrica_de_la_derivada.html" class="withoutChild">1.4.1.-Interpretación geométrica de la derivada</a></div>
<div><a href="142interpretacin_fsica_de_la_derivada.html" class="withoutChild">1.4.2.-Interpretación física de la derivada</a></div>
</div>
<div><a href="15derivadas_laterales.html" class="withoutChild">1.5.-Derivadas laterales</a></div>
<div><a href="16derivadas_de_las_funciones_a_trozos.html" class="withoutChild">1.6.-Derivadas de las funciones a trozos</a></div>
<div><a href="17dervidas_sucesivas.html" class="withChild">1.7.-Dervidas sucesivas</a></div>
<div><a href="imgenes.html" class="withoutChild">Imágenes</a></div>
</ul>
</div>
<div id="main">
<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">1.4.-Derivada de una función en un punto</p></div>
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<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta17_1" class="block" style="display:block">
<div id="nodeDecoration">
<p id="nodeTitle">
<br />
</p>
</div>
<div class="iDevice emphasis0" ondblclick="submitLink('edit',64, 0);">
<div id="ta64_1" class="block" style="display: block">
<font face="Arial, Arial, Helvetica">
<blockquote>
<p>
<font size="2">Sea una función y = <font color="#3333ff">f(x)</font>
y x<sub>0</sub> un punto del eje X. Si se toma un punto x<sub>0</sub> +
h muy próximo a x<sub>0</sub> (h es un número infinitamente
pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante
(<i><font color="#ff0000">en rojo de la figura) </font></i>que une los
puntos
<br />
( x<sub>0</sub>, f(x<sub>0</sub> ) ) y ( x<sub>0</sub>
+ h, f(x<sub>0</sub> + h) ), <b>tiende a confundirse
con la tangente </b><i><font color="#3333ff">(en azul de la figura)</font></i><b>
a la curva en el punto</b> (x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub> ))<font color="#3333ff">.</font></font>
</p>
<img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/de001.JPG" height="20" width="463" />
<br />
<font size="2">que determina la tangente con ese mismo eje, en el
triángulo
rectángulo de vértices</font>
<p>
<font size="2">(x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub> )), (x<sub>0</sub>
+ h,f(x<sub>0</sub>
+ h)) y (x<sub>0</sub> + h,f(x<sub>0</sub> )), se verifica:
<br />
</font><img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/figderiv.JPG" height="229" width="499" />
</p>
<img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/de002.JPG" height="43" width="173" />
<br />
<font size="2">Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante
tiende a confundirse
con un segmento
<br />
de la tangente, es decir, <b>si miras la figura, al hacer que h
tienda
a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que:</b>
<br />
tg a<sub>h</sub> tiende a tg a, es decir, <br />
a la pendiente de la tangente a
la curva en el punto (x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub> )).
<br />
Esto se expresa matemáticamente así:</font>
</blockquote>
<!--mstheme--></font>
<table width="100%" border="0" cellpadding="15" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td width="39%"><!--mstheme--><font face="Arial, Arial, Helvetica"><font color="#ef9a30" size="1"><i>NOTA:
Es importante que entiendas esto, pues es el núcleo por
<br />
el
que después entenderás otros conceptos,
<br />
si
no es así, dímelo</i></font><!--mstheme--></font></td>
<td width="61%">
<!--mstheme--><font face="Arial, Arial, Helvetica"><img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/de003.JPG" height="39" width="235" /><!--mstheme--></font>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<!--mstheme--><font face="Arial, Arial, Helvetica">
</font>
<font face="Arial, Arial, Helvetica"> <b><font size="2">Derivada
de
una función en un punto</font></b>
</font>
<p>
<font face="Arial, Arial, Helvetica"><font size="2">Dada
una función y = f(x), se llama derivada de la función
f en un punto x0 al</font>
</font>
</p>
<p>
<font face="Arial, Arial, Helvetica"><font size="2">
<img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/de005.JPG" height="39" width="472" />
</font>
</font>
</p>
<blockquote>
<font face="Arial, Arial, Helvetica"><font size="2">f '(x<sub>0</sub> )
(<b><i>efe prima de equis sub-cero)</i></b>
o por D(f(x0 )):
<br />
<img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/de004.JPG" height="39" width="231" />
<br />
<b><font color="#993300">Cuando este límite existe (<i>y es
finito</i>) se dice que la función f(x) es derivable en el punto
x<sub>0</sub>.</font></b></font></font>
</blockquote>
<font face="Arial, Arial, Helvetica"><b><font size="2">Significado de la
derivada</font></b>
</font>
<blockquote>
<font face="Arial, Arial, Helvetica"><font size="2">Puesto
que
<br />
<img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/de006.JPG" height="39" width="212" />
<br />
la derivada de la función en un punto x<sub>0</sub> no es otra
cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función)
en (x<sub>0</sub>, f(x<sub>0</sub> )).
<br />
</font></font>
</blockquote>
<font face="Arial, Arial, Helvetica"> <font size="2">
<b><font color="#cc0000">Calcular la derivada de la función f(x)
= 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.</font></b>
<br />
<font color="#ff0000">Resolución:</font>
<br />
Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x<sub>0</sub> = 1).</font>
</font>
<blockquote>
<font face="Arial, Arial, Helvetica"><font size="2"><img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/de007.JPG" height="41" width="324" />
<br />
<img src="http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/de008.JPG" height="39" width="269" />
<br />
Por tanto, f '(1) = 3.</font></font>
</blockquote>
</div>
<a href="authoring" onclick="submitLink('edit', '64', 1);" title="Editar"><br />
</a>
</div>
</div></div>
</div>
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</div>
</div>
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