File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/1bachA/geometria/62distancia_de_un_punto_a_una_recta.html
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<title> 6.2.-Distancia de un Punto a una Recta. </title>
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<ul id="navlist">
<div><a href="index.html" class="withChild">Geometría Analítica en el Plano</a></div>
<div><a href="1sistema_de_referencia.html" class="withChild">1.-Sistema de Referencia.</a></div>
<div><a href="2ecuaciones_continua_y_general_de_la_recta.html" class="withChild">2.-Ecuaciones Continua y General de la Recta.</a></div>
<div><a href="3pendiente_ecuacin_explcita_de_la_recta.html" class="withoutChild">3.-Pendiente. Ecuación Explícita de la Recta.</a></div>
<div><a href="4posiciones_relativas_de_dos_rectas.html" class="withChild">4.-Posiciones Relativas de dos Rectas.</a></div>
<div><a href="5ngulos_entre_dos_rectas.html" class="withChild">5.-Ángulos entre dos Rectas.</a></div>
<div><a href="6distancias_en_el_plano.html" class="withChild">6.-Distancias en el Plano.</a></div>
<div id="subnav" class="withoutChild">
<div><a href="61distancia_entre_dos_puntos.html" class="withoutChild">6.1.-Distancia entre dos Puntos.</a></div>
<div id="active" class="withoutChild">6.2.-Distancia de un Punto a una Recta.</div>
</div>
<div><a href="7formulario.html" class="withoutChild">7.-Formulario.</a></div>
<div><a href="8actividades.html" class="withChild">8.-Actividades.</a></div>
</ul>
</div>
<div id="main">
<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">6.2.-Distancia de un Punto a una Recta.</p></div>
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<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta27_1" class="block" style="display:block">
<p class="MsoNormal">
Vamos a intentar aclarar en primer lugar a qué llamaremos
distancia de un punto P a una recta<span> </span><i>r.<o:p></o:p></i>
</p>
<p class="MsoNormal">
<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600"
o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f"
stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_s1026" type="#_x0000_t75" style='position:absolute;
margin-left:11.7pt;margin-top:24.15pt;width:198.7pt;height:158.2pt;z-index:1;
mso-wrap-distance-left:9.05pt;mso-wrap-distance-right:9.05pt;
mso-position-horizontal:absolute;mso-position-horizontal-relative:text;
mso-position-vertical:absolute;mso-position-vertical-relative:text' filled="t">
<v:fill color2="black"/>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\MARIAR~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.png"
o:title=""/>
<w:wrap type="square"/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->Observemos la siguiente
figura:
</p>
<p class="MsoNormal">
<img src="2.8..png" height="211" width="265" />
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify">
<span> </span>Podemos tomar en la recta <i>r</i> puntos <span style="position: relative; top: 1pt"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600"
o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f"
stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:12.75pt;
height:14.25pt' filled="t">
<v:fill color2="black"/>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\MARIAR~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.png"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span> ,<span>
</span><span style="position: relative; top: 1pt"><!--[if gte vml 1]><v:shape
id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" style='width:13.5pt;height:14.25pt'
filled="t">
<v:fill color2="black"/>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\MARIAR~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image003.png"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span>, ... y calcular la distancia desde <i>P</i> a cada uno de ellos: d (<i>P,Q</i>), d (<i>P,Q</i>), ...
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify">
De todas las distancias, hay una
que es la menor y se obtiene precisamente para el punto <i>Q</i> de la recta con r que cumple:
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify">
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify">
<img src="pag_15._5.jpg" height="40" width="83" />
</p>
<p class="MsoNormal">
<span> </span>A esa distancia
mínima la llamaremos distancia del punto <i>P</i>
a la recta <i>r.</i>
</p>
<p class="MsoNormal">
</p>
<p class="MsoNormal">
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center" align="center">
Llamamos
distancia del punto P a la recta r a la distancia
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center" align="center">
d, (P,Q)
</p>
<p>
<span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">donde Q es el punto de R tal que<span> </span><span style="position: relative; top: 2pt"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:15.75pt;
height:16.5pt' filled="t">
<v:fill color2="black"/>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\MARIAR~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.png"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span><span> </span><span style="position: relative; top: 1pt"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75"
style='width:9pt;height:15pt' filled="t">
<v:fill color2="black"/>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\MARIAR~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image003.png"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span><span> </span><i>r</i></span><img src="pag_15._5.jpg" height="40" width="83" />
</p>
<p>
</p>
<p class="MsoNormal">
<!--[if gte vml 1]><v:rect id="_x0000_s1026" style='position:absolute;
margin-left:-5.55pt;margin-top:32.65pt;width:441pt;height:63.75pt;z-index:-1;
mso-wrap-style:none;mso-position-horizontal:absolute;
mso-position-horizontal-relative:text;mso-position-vertical:absolute;
mso-position-vertical-relative:text;v-text-anchor:middle' strokeweight=".26mm">
<v:fill color2="black"/>
</v:rect><![endif]--><!--[if !vml]--><span style="position: absolute; z-index: -1; margin-left: -8px; margin-top: 43px; width: 590px; height: 87px"><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/MARIAR%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gif" v:shapes="_x0000_s1026" height="87" width="590" /></span><!--[endif]-->Para calcular la distancia de un punto
a una recta de la que se conoce su ecuación, disponemos de la siguiente
fórmula:
</p>
<p class="MsoNormal">
<img src="pag_15._6.jpg" height="108" width="413" />
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p class="Prrafodelista" style="text-indent: -18pt; line-height: normal">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-size: 12pt; font-family: Symbol"><span>·<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal">
</span></span></span><!--[endif]--><u><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">Demostración</span></u><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">: no la estudiaremos.<o:p></o:p></span>
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p class="Prrafodelista">
<span style="font-size: 12pt; line-height: 115%; font-family: 'Times New Roman'"><o:p> </o:p></span>
</p>
<p class="Prrafodelista" style="text-indent: -18pt; line-height: normal">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-size: 12pt; font-family: Symbol"><span>·<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal">
</span></span></span><!--[endif]--><u><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">Ejemplo:</span></u><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'"> obtengamos la distancia de <i>P</i> = ( 2, 3) a <i>r</i> : 3<i>x</i> – 4<i>y</i>
+ 1 = 0:<o:p></o:p></span>
</p>
<p>
</p>
<p>
<img src="2.9.png" height="225" width="226" /><img src="pag_15._7.jpg" height="118" width="233" />
</p>
<p>
</p>
<p class="Prrafodelista" style="text-indent: -18pt; line-height: normal">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-size: 12pt; font-family: Symbol"><span>·<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal">
</span></span></span><!--[endif]--><u><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">Nota</span></u><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">: otra forma de obtener esa distancia es:<o:p></o:p></span>
</p>
<p>
</p>
<p class="Prrafodelista" style="margin-left: 54pt; text-indent: -18pt; line-height: normal">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'"><span>1.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal">
</span></span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">Obtener
la ecuación de la recta perpendicular a <i>r</i>
por <i>P</i>.<o:p></o:p></span>
</p>
<p class="Prrafodelista" style="margin-left: 54pt; text-indent: -18pt; line-height: normal">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'"><span>2.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal">
</span></span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">Cortar
dichas rectas para obtener el punto <i>Q</i>.<o:p></o:p></span>
</p>
<p class="Prrafodelista" style="margin-left: 54pt; text-indent: -18pt; line-height: normal">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'"><span>3.<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; font-size: 7pt; line-height: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal">
</span></span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 12pt; font-family: 'Times New Roman'">Calcular
la distancia desde el punto <i>P</i> al
punto <i>Q</i>. Esta distancia es la
distancia del punto <i>P</i> a la recta <i>r</i>.</span>
</p>
<p class="Prrafodelista" style="margin-left: 54pt; text-indent: -18pt; line-height: normal">
</p>
<p class="Prrafodelista" style="margin-left: 54pt; text-indent: -18pt; line-height: normal">
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p class="MsoNormal">
</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify">
</p>
</div></div>
</div>
<div class="noprt" align="right"><a href="61distancia_entre_dos_puntos.html">« Anterior</a> | <a href="7formulario.html"> Siguiente »</a></div>
</div>
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