File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/2bachA/sistemasdeecuaciones/ejercicios.html
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<title> Ejercicios </title>
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<ul id="navlist">
<div><a href="index.html" class="withChild">SISTEMAS DE ECUACIONES</a></div>
<div><a href="ecuacion_lineal_con_n_incgnitas.html" class="withChild">Ecuacion lineal con n incógnitas</a></div>
<div><a href="resolucin_de_sistemas_de_ecuaciones.html" class="withChild">Resolución de sistemas de ecuaciones</a></div>
<div id="active" class="withChild">Ejercicios</div>
<div id="subnav" class="withoutChild">
<div><a href="actividades.html" class="withoutChild">Actividades</a></div>
</div>
</ul>
</div>
<div id="main">
<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">Ejercicios</p></div>
<div class="readingIdevice" id="id29">
<div class="iDevice emphasis1">
<img alt="Icono IDevice" class="iDevice_icon" src="icon_reading.gif"/>
<span class="iDeviceTitle">Ejercicio 1</span>
<div class="iDevice_inner">
<div id="ta29_50_4" class="block" style="display:block">
</div><br/>
<div id="ta29_50_5" class="block" style="display:block">
<p>
<font size="3">
Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres
incógnitas que sea:
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
a) Compatible determinado<br />
b) Compatible indeterminado<br />
c)
Incompatible<br />
Justifica en cada caso tus respuestas</font>
</p>
</div><br/>
<div class="block">
<input type="button" name="btn29_50_6" value="Click aquí" class="feedbackbutton" onclick="toggleFeedback('29_50_6')"/>
</div>
<div id="fb29_50_6" class="feedback" style="display: none;">
<p>
<font size="3">
a) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, no puede ser
compatible determinado; con solo dos datos (ecuaciones) no podemos averiguar
tres incógnitas.
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><br />
b) Por ejemplo:
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20X+Y+Z=3%5C%5C%20X-Z=1%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5C%7D" title="\left.\begin{matrix} X+Y+Z=3\\ X-Z=1\\ \end{matrix}\right\}" />
Tiene infinitas soluciones, que serían de la forma:
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="eXe_LaTeX_math_4.1.gif" exe_math_size="4" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_4.1.gif.tex" /> <img src="eXe_LaTeX_math_6.1.gif" exe_math_size="4" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_6.1.gif.tex" /> <img src="eXe_LaTeX_math_8.gif" exe_math_size="4" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_8.gif.tex" /> <img src="eXe_LaTeX_math_11.gif" exe_math_size="4" exe_math_latex="eXe_LaTeX_math_11.gif.tex" /></font>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
c) Tendrían que ser dos ecuaciones contradictorias. Por ejemplo:
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20X+Y+Z=3%5C%5C%20X+Y+Z=4%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5C%7D" title="\left.\begin{matrix} X+Y+Z=3\\ X+Y+Z=4\\ \end{matrix}\right\}" />
Es incompatible; no se pueden dar las dos ecuaciones a la vez.</font>
</p>
</div>
<br/>
</div>
</div>
</div>
<div class="readingIdevice" id="id31">
<div class="iDevice emphasis1">
<img alt="Icono IDevice" class="iDevice_icon" src="icon_reading.gif"/>
<span class="iDeviceTitle">Ejercicio 2</span>
<div class="iDevice_inner">
<div id="ta31_52_4" class="block" style="display:block">
</div><br/>
<div id="ta31_52_5" class="block" style="display:block">
<p>
<font size="3">
a) Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o
incompatible:
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203x-2y+4z=6%5C%5C%202x+4y-z=3%5C%5C%20x+2y+3z=1%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright." title="\left\{\begin{matrix} 3x-2y+4z=6\\ 2x+4y-z=3\\ x+2y+3z=1 \end{matrix}\right." /></font>
</p>
<p>
<font size="3">
b) ¿Podríamos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de
las ecuaciones? Razónalo.</font>
</p>
</div><br/>
<div class="block">
<input type="button" name="btn31_52_6" value="Click aquí" class="feedbackbutton" onclick="toggleFeedback('31_52_6')"/>
</div>
<div id="fb31_52_6" class="feedback" style="display: none;">
<p>
<font size="3">
a) Observamos que la tercera ecuación es suma de las dos primeras, salvo en
el término independiente que, en lugar de un 9, es un 1. Por tanto, la tercera
ecuación contradice las dos primeras. El sistema es incompatible.
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><br />
b) No. Si suprimimos una de las ecuaciones, obtendremos un sistema con
tres incógnitas y solo dos ecuaciones. Este nuevo sistema podría ser compatible
indeterminado (en este caso lo sería), pero no compatible determinado.
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
</div>
<br/>
</div>
</div>
</div>
<div class="readingIdevice" id="id32">
<div class="iDevice emphasis1">
<img alt="Icono IDevice" class="iDevice_icon" src="icon_reading.gif"/>
<span class="iDeviceTitle">Ejercicio 3</span>
<div class="iDevice_inner">
<div id="ta32_53_4" class="block" style="display:block">
</div><br/>
<div id="ta32_53_5" class="block" style="display:block">
<p>
<font size="3">
En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del
número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del
número de hombres.
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><br />
a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?<br />
b)
Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres,
¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
</div><br/>
<div class="block">
<input type="button" name="btn32_53_6" value="Click aquí" class="feedbackbutton" onclick="toggleFeedback('32_53_6')"/>
</div>
<div id="fb32_53_6" class="feedback" style="display: none;">
<p>
<font size="3">
a) Llamemos x al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños.<br />
Como hay
22 personas, tenemos que:
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><br />
x + y + z = 22
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
Con el otro dato, planteamos otra ecuación:
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
2y + 3z = 2x
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><br />
Solo con estos datos no podemos saber el número de hombres (ni el de
mujeres, ni el de niños) que hay. Es un sistema compatible indeterminado; como
tenemos tres incógnitas, para que pueda ser compatible determinado, necesitamos
otra ecuación.
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el
sistema:
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20X+Y+Z=22%5C%5C%20-2X+2Y+3Z=0%20%5C%5C%20X=2Y%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5C%7D%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203Y+Z=22%20%5C%5C%20-2Y+3Z=0%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5C%7D%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20Z=22-3Y%5C%5C%20-2Y+66-9Y=0%5Cleft.%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5C%7D" title="\left.\begin{matrix} X+Y+Z=22\\ -2X+2Y+3Z=0 \\ X=2Y \end{matrix}\right\}\left.\begin{matrix} 3Y+Z=22 \\ -2Y+3Z=0\\ \end{matrix}\right\}\left.\begin{matrix} Z=22-3Y\\ -2Y+66-9Y=0\left. \end{matrix}\right\}" /></font>
</p>
<p>
<font size="3">
Z=22-18=4 Y=-66/-11=6 X= 12
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
Por tanto, hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños.</font>
</p>
</div>
<br/>
</div>
</div>
</div>
<div class="readingIdevice" id="id55">
<div class="iDevice emphasis1">
<img alt="Icono IDevice" class="iDevice_icon" src="icon_reading.gif"/>
<span class="iDeviceTitle">Ejercicio 4</span>
<div class="iDevice_inner">
<div id="ta55_29_4" class="block" style="display:block">
</div><br/>
<div id="ta55_29_5" class="block" style="display:block">
<p>
<font size="3">Resuelve el siguiente sistema por el método de la matriz inversa:</font>
</p>
<p>
<font size="3"></font>
</p>
<font size="3"></font>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203x-y=2%5C%5C%202x+y+z=0%5C%5C%203y+2z=-1%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright." title="\left\{\begin{matrix} 3x-y=2\\ 2x+y+z=0\\ 3y+2z=-1\\ \end{matrix}\right." />
</div><br/>
<div class="block">
<input type="button" name="btn55_29_6" value="Click aquí" class="feedbackbutton" onclick="toggleFeedback('55_29_6')"/>
</div>
<div id="fb55_29_6" class="feedback" style="display: none;">
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{pmatrix}%203&%20-1&0%20\\%202&%201&%201\\%200&%203&%202%20\end{pmatrix}X\begin{pmatrix}%20x\\%20y\\%20z%20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}%202\\%200\\%20-1%20\end{pmatrix}" title="\begin{pmatrix} 3& -1&0 \\ 2& 1& 1\\ 0& 3& 2 \end{pmatrix}X\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}" /><font size="3"> es decir, A·x=B A<sup>-1</sup>·A·x=A<sup>-1</sup>·B x=A<sup>-1</sup>·B
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^{-1}=\begin{pmatrix}%20-1&%202&%20-1\\%20-4&%206&%20-3\\%206&%20-9%20&%205%20\end{pmatrix}" title="A^{-1}=\begin{pmatrix} -1& 2& -1\\ -4& 6& -3\\ 6& -9 & 5 \end{pmatrix}" />, por tanto </font><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-1%20%5C%5C%20-5%20%5C%5C%207%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" title="x=\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 7 \end{pmatrix}" />
</p>
<p>
</p>
</div>
<br/>
</div>
</div>
</div>
<div class="readingIdevice" id="id56">
<div class="iDevice emphasis1">
<img alt="Icono IDevice" class="iDevice_icon" src="icon_reading.gif"/>
<span class="iDeviceTitle">Ejercicio 5</span>
<div class="iDevice_inner">
<div id="ta56_30_4" class="block" style="display:block"><font size="3"></font><br />
</div><br/>
<div id="ta56_30_5" class="block" style="display:block"><font size="3">Un determinado inversor dispone de un capital C que invierte en tres productos financieros a, b y c. Se desea<br />
saber cuál es el interés de a, cuál el de b y cuál el de c, sabiendo que:<br />
— Si invierte el 15 % en a, el 50% en b y el resto en c, obtiene una rentabilidad del 5 %.<br />
— Si invierte el 30 % en a, el 45% en c y el resto en b, obtiene una rentabilidad del 5,5 %.<br />
— Si invierte exclusivamente a partes iguales en a y b, obtiene una rentabilidad del 6,5 %.<br />
Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y resuélvelo.</font><font size="3"></font>
</div><br/>
<div class="block">
<input type="button" name="btn56_30_6" value="Click aquí" class="feedbackbutton" onclick="toggleFeedback('56_30_6')"/>
</div>
<div id="fb56_30_6" class="feedback" style="display: none;">
<p>
<font size="3">
Se plantea el sistema para un capital de 100 euros, siendo x, y y z los intereses respectivos de a, b y c:
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
A)
</font>
</p>
<p>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{matrix}%2015x+50y+35z=5\\%2030x+25y+45z=5,5\\%2050x+50y=6,5%20\end{matrix}\right." title="\left\{\begin{matrix} 15x+50y+35z=5\\ 30x+25y+45z=5,5\\ 50x+50y=6,5 \end{matrix}\right." /><br />
<br />
b) Para resolver el sistema se procede de esta forma:<br />
Se comprueba que el sistema es de Cramer, y la<br />
solucio´n u´nica, al ser compatible determinado, es:
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=\frac{117}{1400}=0,083" title="x=\frac{117}{1400}=0,083" /> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?Y=\frac{65}{1400}=0,046" title="Y=\frac{65}{1400}=0,046" height="38" width="145" /> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?z=\frac{57}{1400}=0,04" title="z=\frac{57}{1400}=0,04" /></font>
</p>
<p>
<font size="3"> </font>
</p>
<font size="3">a tiene un intere´s del 8,3 %, b del 4,6 % y c del 4 %.</font>
</div>
<br/>
</div>
</div>
</div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id58">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta58_1" class="block" style="display:block">
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</div></div>
</div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id59">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta59_1" class="block" style="display:block">
<iframe src="http://www.selectividad.tv/API.php?tipo=swf&codigo=M_4_2_7&ancho=722&alto=402%22" style="border: medium none; overflow: hidden; width: 722px; height: 402px" allowtransparency="true" frameborder="0"> </iframe>
</div></div>
</div>
<div class="readingIdevice" id="id61">
<div class="iDevice emphasis1">
<img alt="Icono IDevice" class="iDevice_icon" src="icon_reading.gif"/>
<span class="iDeviceTitle">EJercicio 8</span>
<div class="iDevice_inner">
<div id="ta61_25_4" class="block" style="display:block">
</div><br/>
<div id="ta61_25_5" class="block" style="display:block">
<p>
<font size="3">
a) Razona si los siguientes sistemas son equivalentes o no:
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><br />
</font>
<font size="3"></font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A=\left\{\begin{matrix}%20x-3y+4z=7\\%203x+2z=0%20\end{matrix}\right." title="A=\left\{\begin{matrix} x-3y+4z=7\\ 3x+2z=0 \end{matrix}\right." /> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?B=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x=-2%5C%5C%20y=1%5C%5C%20z=3%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright." title="B=\left\{\begin{matrix} x=-2\\ y=1\\ z=3 \end{matrix}\right." /><br />
</font>
</p>
<p>
<font size="3">b) Añade una ecuación al sistema A, de modo que el nuevo sistema resultante sea incompatible. Justifica tu<br />
respuesta.</font><br />
<br />
<br />
<br />
</p>
</div><br/>
<div class="block">
<input type="button" name="btn61_25_6" value="Click aquí" class="feedbackbutton" onclick="toggleFeedback('61_25_6')"/>
</div>
<div id="fb61_25_6" class="feedback" style="display: none;">
<p>
<font size="3">a) El segundo sistema es compatible determinado. Tiene como única solución (−2, 1, 3), que también es solución del<br />
sistema A.</font>
</p>
<p>
<font size="3">Sin embargo, el sistema A tiene, además de (−2, 1, 3), infinitas soluciones más, es compatible indeterminado. Por<br />
tanto, los dos sistemas no son equivalentes.</font>
</p>
<font size="3">b) Para que sea incompatible, debemos añadir una ecuación de la forma:<br />
a(x − 3 y + 4z ) + b(3 x + 2z ) = k, con k ≠ 7a<br />
<br />
Por ejemplo, si tomamos a = 1, b = 1:<br />
4 x − 3 y + 6z = 3<br />
<br />
Añadiendo esta ecuación, el nuevo sistema es incompatible.</font><br />
</div>
<br/>
</div>
</div>
</div>
<div class="readingIdevice" id="id62">
<div class="iDevice emphasis1">
<img alt="Icono IDevice" class="iDevice_icon" src="icon_reading.gif"/>
<span class="iDeviceTitle">Ejercicio 9</span>
<div class="iDevice_inner">
<div id="ta62_26_4" class="block" style="display:block">
</div><br/>
<div id="ta62_26_5" class="block" style="display:block">
<p>
<font size="3">Discute, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas:</font><br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A)\left\{\begin{matrix}%20ax+2y+z=2\\%20x+ay-z=0\\%20x+2y+z=2%20\end{matrix}\right." title="A)\left\{\begin{matrix} ax+2y+z=2\\ x+ay-z=0\\ x+2y+z=2 \end{matrix}\right." /> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?B%29%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20ax+y=a%5C%5C%20x+ay=0%5C%5C%20y=a%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright." title="B)\left\{\begin{matrix} ax+y=a\\ x+ay=0\\ y=a
\end{matrix}\right." /> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?C%29%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x+y=a+1%5C%5C%20ax+y=0%5C%5C%20-x=a+1%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright." title="C)\left\{\begin{matrix} x+y=a+1\\ ax+y=0\\ -x=a+1 \end{matrix}\right." />
</p>
<p>
</p>
</div><br/>
<div class="block">
<input type="button" name="btn62_26_6" value="Click aquí" class="feedbackbutton" onclick="toggleFeedback('62_26_6')"/>
</div>
<div id="fb62_26_6" class="feedback" style="display: none;"> <font size="3">a) a=1 S.C.I.; a=-2 S.I.; a=1 y a=-2 S.C.D.; b) a=0 S.C.I.; a=0 S.I.; c) a=2 S.C.D.;<br />
a=2 S.I.</font><br />
</div>
<br/>
</div>
</div>
</div>
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</div>
</div>
</body></html>