File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/2bachA/sistemasdeecuaciones/teorema_de_rouchefrobenus.html
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<title> Teorema de Rouche-Frobenus </title>
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<ul id="navlist">
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<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">Teorema de Rouche-Frobenus</p></div>
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<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta12_1" class="block" style="display:block">
<p>
<font size="3">
Llamamos matriz ampliada de la matriz de los coeficientes de las incógnitas a
la matriz que se obtiene añadiendo a la matriz de los coeficientes la columna
correspondiente a los términos independientes. Si designamos por A la matriz de
los coeficientes, la ampliada se denotaría como A ́ (también se utiliza A y A*).
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n
incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes (r) y
el de la matriz ampliada (r ́)sean iguales.
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><br />
- r = r' Sistema Compatible.
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
o Si r = r'= n Sistema Compatible Determinado.<br />
o Si r = r'≠ n Sistema
Compatible Indeterminado.
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
- r ≠ r' Sistema Incompatible.
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><br />
<br />
<b><u>EJEMPLO:</u></b><br />
Estudiar y resolver, si es posible, el
sistema:
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%202x-y-2z=-2%5C%5C%20-x+y+z=0%5C%5C%20x-2y+z=8%5C%5C%202x-2y=6%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright." title="\left\{\begin{matrix} 2x-y-2z=-2\\ -x+y+z=0\\ x-2y+z=8\\ 2x-2y=6 \end{matrix}\right." /></font>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
<p>
<u><font size="3"><font color="#000000">1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos
el rango.</font></font></u>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
A= <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202&%20-1&%20-2%5C%5C%20-1&%201&%201%5C%5C%201&%20-2&%201%5C%5C%202&%20-2&%200%5E%7B%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" onclick="window.parent.browseURL('http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\begin{pmatrix}%202&%20-1&%20-2\\%20-1&%201&%201\\%201&%20-2&%201\\%202&%20-2&%200^{}%20\end{pmatrix}'); return false" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202&%20-1&%20-2%5C%5C%20-1&%201&%201%5C%5C%201&%20-2&%201%5C%5C%202&%20-2&%200%5E%7B%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" id="previewImg" onload="updateImageData(true);" border="0" /></a></font>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202&%20-1%5C%5C%20-1&%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D=%202%5Cneq%200" title="\begin{vmatrix} 2& -1\\ -1& 1 \end{vmatrix}= 2\neq 0" />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202&%20-1&%20-2%5C%5C%20-1&%201&%201%5C%5C%201&%20-2&%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D=2%5Cneq%200" title="\begin{vmatrix} 2& -1& -2\\ -1& 1& 1\\ 1& -2& 1 \end{vmatrix}=2\neq 0" /><br />
<br />
R(A)=3
</font>
</p>
<p>
<u><font size="3">2. Hallamos la matriz ampliada</font></u>
</p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%27=%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202&%20-1&%20-2&%20-2%5C%5C%20-1&%201&%201&%200%5C%5C%201&%20-2&%202&%208%5C%5C%202&%20-2&%200&%206%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" title="A'= \begin{pmatrix} 2& -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 2& 8\\ 2& -2& 0& 6 \end{pmatrix}" /></font>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202&%20-1&%20-2&%20-2%5C%5C%20-1&%201&%201&%200%5C%5C%201&%20-2&%201&%208%5C%5C%202&%20-2&%200&%206%20%5Cend%7Bvmatrix%7D=0" title="\begin{vmatrix} 2& -1& -2& -2\\ -1& 1&
1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ 2& -2& 0& 6
\end{vmatrix}=0" /></font>
</p>
<font size="3"><br />
R(A')=3<br />
</font>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
<p>
<u><font size="3">3. Aplicamos el teorema de Rouché</font></u>
</p>
<p>
<font size="3">
R(A)=3 R(A')=3 Número de incognitas= 3
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
"Sistema compatible determinado"
</font>
</p>
<p>
<font size="3">
</font>
</p>
<p>
<u><font size="3">4. Se resuelve el sistema por cramer</font></u>
</p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\begin{vmatrix}%20-2%20&%20-1&%20-2\\%200&%201&%201\\%208&%20-2&%201%20\end{vmatrix}}{2}=\frac{2}{2}=1=X" title="\frac{\begin{vmatrix} -2 & -1& -2\\ 0& 1& 1\\ 8& -2& 1 \end{vmatrix}}{2}=\frac{2}{2}=1=X" />
<br />
</font>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\begin{vmatrix}%202&%20-2&%20-2\\%20-1&%200&%201\\%201&%208&%201%20\end{vmatrix}}{2}=\frac{-4}{2}=-2=%20Y" title="\frac{\begin{vmatrix} 2&
</p>
<exe_tmp_anchor title=" name="exe-node:SISTEMAS%20DE%20ECUACIONES#auto_top" /></font>
</p>
<p>
<font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202&%20-1&%20-2%5C%5C%20-1&%201&%200%5C%5C%201&%20-2&%208%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%7D%7B2%7D=%5Cfrac%7B6%7D%7B2%7D=3=%20Z" title="\frac{\begin{vmatrix} 2& -1& -2\\ -1& 1& 0\\ 1& -2& 8 \end{vmatrix}}{2}=\frac{6}{2}=3= Z" /></font>
</p>
</div></div>
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