File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/2bachA/matrices/ss/matriz_inversa.html
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<title> Matriz inversa </title>
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<ul id="navlist">
<div><a href="index.html" class="withChild">Matrices</a></div>
<div><a href="definicion_de_matrices.html" class="withoutChild">Definicion de matrices</a></div>
<div><a href="tipos_de_matrices.html" class="withoutChild">Tipos de matrices</a></div>
<div><a href="suma_de_matrices.html" class="withoutChild">Suma de matrices</a></div>
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<div><a href="producto_de_matrices.html" class="withoutChild">Producto de matrices</a></div>
<div id="active" class="withoutChild">Matriz inversa</div>
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<div><a href="ejercicios.html" class="withoutChild">Ejercicios</a></div>
</ul>
</div>
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<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">Matriz inversa</p></div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id25">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta25_1" class="block" style="display:block">
<p>
Se denota por <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^{-1}" title="A^{-1}" />, y es aquella que cumple que: <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%5Ctimes%20A%5E%7B-1%7D=A%5E%7B-1%7D%5Ctimes%20A=I" title="A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I" />
</p>
<p>
<u>Propiedades:</u>
</p>
<p>
1. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20(%20A\times%20B%20\right%20)^{-1}=A^{-1}\times%20B^{-1}" title="\left ( A\times B \right )^{-1}=A^{-1}\times B^{-1}" />
</p>
<p>
2. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20(%20A^{-1}%20\right%20)^{-1}=A" title="\left ( A^{-1} \right )^{-1}=A" />
</p>
<p>
3. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20(%20k\times%20A^{-1}%20\right%20)=k^{-1}\times%20A^{-1}" title="\left ( k\times A^{-1} \right )=k^{-1}\times A^{-1}" />
</p>
<p>
4. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20A%5E%7Bt%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B-1%7D=%5Cleft%20%28%20A%5E%7B-1%7D%20%5Cright%20%29%5E%7Bt%7D" title="\left ( A^{t} \right )^{-1}=\left ( A^{-1} \right )^{t}" />
</p>
<p>
La condición para que una matriz cuadrada A sea inversible es que <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%5Cneq%200" title="A\neq
0" />
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix}%20A\end{vmatrix}}\cdot%20\left%20(%20A^{*}%20\right%20)^{t}" title="A^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix} A\end{vmatrix}}\cdot \left ( A^{*} \right )^{t}" />
</p>
<p>
Donde <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^{*}" title="A^{*}" /> es la matriz adjunta de A, es decir, la matriz en la que cada elemento de A ha sido sustituido por su adjunto.
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20A%5E%7B*%7D%20%5Cright%20%29%5E%7Bt%7D" title="\left ( A^{*} \right )^{t}" /> es la matriz traspuesta de la adjunta de A
</p>
</div></div>
</div>
<div class="FreeTextIdevice" id="id52">
<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta52_1" class="block" style="display:block">
<p>
Ejemplo:
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202&%200&%201%5C%5C%203&%200&%200%5C%5C%205&%201&%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" title="\begin{pmatrix} 2& 0& 1\\ 3& 0& 0\\ 5&
1& 1 \end{pmatrix}" />
</p>
<p>
1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso del que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A=%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202&%200&%201%5C%5C%203&%200&%200%5C%5C%205&%201&%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D=3" title="A=\begin{vmatrix} 2& 0& 1\\ 3& 0& 0\\ 5& 1& 1 \end{vmatrix}=3" />
</p>
<p>
</p>
<p>
2. Hallamos la matriz adjunta, es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.
</p>
<p>
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^{*}=\begin{pmatrix}%20\begin{vmatrix}%200&%200\\%201&%201%20\end{vmatrix}&%20-\begin{vmatrix}%203&%200\\%205&%201%20\end{vmatrix}&%20\begin{vmatrix}%203&%200\\%205&%201%20\end{vmatrix}\\%20-\begin{vmatrix}%200&%201\\%201&%201%20\end{vmatrix}&%20\begin{vmatrix}%202&%201\\%205&%201%20\end{vmatrix}&%20-\begin{vmatrix}%202&%200\\%205&%201%20\end{vmatrix}\\%20\begin{vmatrix}%200&%201\\%200&%200%20\end{vmatrix}&%20-\begin{vmatrix}%202&%203\\%201&%200%20\end{vmatrix}&%20\begin{vmatrix}%202&%200\\%203&%200%20\end{vmatrix}%20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}%200&%20-3&%203\\%201&%20-3&%20-2\\%200&%203&%200%20\end{pmatrix}" title="A^{*}=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 0& 0\\ 1& 1 \end{vmatrix}& -\begin{vmatrix} 3& 0\\ 5& 1 \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 3& 0\\ 5& 1 \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} 0& 1\\ 1& 1 \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 2& 1\\ 5& 1 \end{vmatrix}& -\begin{vmatrix} 2& 0\\ 5& 1 \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} 0& 1\\ 0& 0 \end{vmatrix}& -\begin{vmatrix} 2& 3\\ 1& 0 \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 2& 0\\ 3& 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0& -3& 3\\ 1& -3& -2\\ 0& 3& 0 \end{pmatrix}" />
</p>
<p>
3.Calculamos la traspuesta de la adjunta
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?(A*)^{t}=\begin{pmatrix}%200&%201&%200\\%20-3&%20-3&%203\\%203&%20-2&%200%20\end{pmatrix}" title="(A*)^{t}=\begin{pmatrix} 0& 1& 0\\ -3& -3& 3\\ 3& -2& 0 \end{pmatrix}" />
</p>
<p>
4. La matriz inversa es igual al producto del valor inverso de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%5E%7B-1%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200&%201&%200%5C%5C%20-3&%20-3&%203%5C%5C%203&%20-2&%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200&%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D&%200%5C%5C%20-1&%20-1&%201%5C%5C%201&%20%5Cfrac%7B-2%7D%7B3%7D&0%20%5Cend%7Bpmatrix%7D" title="A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0& 1& 0\\ -3& -3& 3\\ 3& -2& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0& \frac{1}{3}& 0\\ -1& -1& 1\\ 1& \frac{-2}{3}&0 \end{pmatrix}" />
</p>
<p>
</p>
</div></div>
</div>
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</p>
<p>
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