File: /home/iestorre/www2/proyectointegrado/2bachA/espacioeuclideo/aplicaciones_del_producto_escalar.html
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<title> APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR </title>
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<div><a href="index.html" class="withChild">ESPACIO EUCLÍDEO</a></div>
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<div id="active" class="withoutChild">APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR</div>
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<div id="nodeDecoration"><p id="nodeTitle">APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR</p></div>
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<div class="iDevice emphasis0">
<div id="ta3_1" class="block" style="display:block">
<p>
</p>
<p>
<font size="4"><b> </b></font><u><font size="4"><b> MÓDULO DE UN VECTOR </b></font></u>
</p>
<p>
<font size="4">Se llama módulo de un vector x de un espacio euclídeo E, al número real no negativo.
</font>
</p>
<p>
<font size="4">Si</font>:
</p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bx%7D%20%5Cleft%20%28%20x_%7B1%7D,x_%7B2%7D,x_%7B3%7D%20%5Cright%20%29%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Bx%7D%20%5Cright%20%5C%7C=" title="\vec{x} \left ( x_{1},x_{2},x_{3} \right )\Rightarrow \left \| \vec{x} \right \|=" />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{{x_1}^{2}+{x_2}^{2}+{x_3}^{2}}" title="\sqrt{{x_1}^{2}+{x_2}^{2}+{x_3}^{2}}" />
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
<font size="4"><b> </b></font><u><font size="4"><b>ÁNGULO ENTRO DOS VECTORES
</b></font></u>
</p>
<p>
<font size="4">Él ángulo formado por dos vectores es el resultado de efectuar: </font>
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bx%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7By%7D=%20%5Cleft%20%5C%7C%20x%20%5Cright%20%5C%7C%5Ccdot%20%5Cleft%20%5C%7C%20y%20%5Cright%20%5C%7C%5Ccdot%20%5Ccos%20%5C%CE%B1%5CRightarrow%20%CE%B1=%5Carccos%20%5Cfrac%7Bx_%7B1%7Dy_%7B1%7D+x_%7B2%7Dy_%7B2%7D+x_%7B3%7Dy_%7B3%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx_%7B1%7D%5E%7B2%7D+x_%7B2%7D%5E%7B2%7D+x_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7By_%7B1%7D%5E%7B2%7D+y_%7B2%7D%5E%7B2%7D+y_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7D" title="\vec{x}\cdot \vec{y}= \left \| x \right \|\cdot \left \| y
\right \|\cdot \cos \α\Rightarrow α=\arccos
\frac{x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}\cdot
\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}}" />
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
<font size="4"><b> </b><u><b>DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS </b></u></font>
</p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?Si%20A%28a_%7B1%7D,a_%7B2%7D,a_%7B3%7D%29%20y%20B%28b_%7B1%7D,b_%7B2%7D,b_%7B3%7D%29%5CRightarrow%20%5Coverrightarrow%7BAB%7D%28b_%7B1%7D-a_%7B1%7D,b_%7B2%7D-a_%7B2%7D,b_%7B3%7D-a_%7B3%7D%29%5CRightarrow%20d%28A,B%29=%20%5Cleft%20%5C%7C%20%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20%5Cright%20%5C%7C=%20+%5Csqrt%5E%5Cleft%28%7Bb_%7B1%7D-a_%7B1%7D%7D%20%5Cright%29%5E%7B2%7D+%5Cleft%20%28%20b_%7B2%7D-a_%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D+%5Cleft%20%28%20b_%7B3%7D-a_%7B3%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D" title="Si A(a_{1},a_{2},a_{3}) y B(b_{1},b_{2},b_{3})\Rightarrow
\overrightarrow{AB}(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2},b_{3}-a_{3})\Rightarrow
d(A,B)= \left \| \overrightarrow{AB} \right \|=
+\sqrt^\left({b_{1}-a_{1}} \right)^{2}+\left ( b_{2}-a_{2} \right
)^{2}+\left ( b_{3}-a_{3} \right )^{2}" />
<p>
<font size="4"><b> </b></font>
</p>
<p>
</p>
<p>
<font size="4"><b><u>VECTOR NORMAL
</u></b></font>
</p>
<p>
<font size="4">
Es un vector perpendicular al plano. </font>
</p>
<p>
<font size="4"> Si</font>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cpi%20%5Cequiv%20ax%20+by%20+cz%20+d=0%5CRightarrow%20%5Cvec%7Bw%7D%28a,b,c%29%20es%5Cperp%20a%20%5Cpi" title="\pi \equiv ax +by +cz +d=0\Rightarrow \vec{w}(a,b,c) es\perp a \pi" align="absmiddle" />
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
<font size="4"><u><b>DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO</b></u></font>
</p>
<p>
<font size="4">
Si P</font>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28p_%7B1%7D,p_%7B2%7D,p_%7B3%7D%29%20y%20%5Cpi%20%5Cequiv%20ax%20+by%20+cz%20+d=0%5CRightarrow%20d%28P,%5Cpi%20%29=%5Cfrac%7Bap_%7B1%7D+bp_%7B2%7D+cp_%7B3%7D+d%7D%7B%5Cpm%20%5Csqrt%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D+c%5E%7B2%7D%7D%7D" title="(p_{1},p_{2},p_{3}) y \pi \equiv ax +by +cz +d=0\Rightarrow d(P,\pi )=\frac{ap_{1}+bp_{2}+cp_{3}+d}{\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}" align="absmiddle" />
</p>
<p>
</p>
<p>
</p>
<p>
<font size="4"><b> </b><u><b>ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS </b></u></font>
</p>
<p>
<font size="4">
De la recta se toma su vector de dirección y del plano su vector
normal:
</font>
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{v_{r}}(v_{1},v_{2},v_{3})" title="\vec{v_{r}}(v_{1},v_{2},v_{3})" />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{w_{\pi%20}}(w_{1},w_{2},w_{3})" title="\vec{w_{\pi }}(w_{1},w_{2},w_{3})" />
</p>
<p>
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{v_{r}}\cdot%20\vec{w_{\pi%20}}=%20\left%20\|%20\vec{v_{r}}%20\right%20\|\cdot%20\left%20\|%20\vec{w_{\pi%20}}%20\right%20\|\cdot%20\cos%20(90-\alpha%20)" title="\vec{v_{r}}\cdot \vec{w_{\pi }}= \left \| \vec{v_{r}} \right
\|\cdot \left \| \vec{w_{\pi }} \right \|\cdot \cos (90-\alpha )" />
</p>
<p>
</p>
<p>
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\cos%20(90-\alpha%20)=\sin%20\alpha" title="\cos (90-\alpha )=\sin \alpha" />
</p>
<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=%5Csin%20%5Calpha%20=%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bv_%7Br%7D%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7Bw_%7B%5Cpi%20%7D%7D%7D%7B%20%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Bv_%7Br%20%7D%7D%20%5Cright%20%5C%7C%5Ccdot%20%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Bw_%7B%5Cpi%20%7D%7D%20%5Cright%20%5C%7C%7D%5CRightarrow%20%5Calpha%20=%5Carcsin%20%5Cfrac%7Ba_%7Bv%7D@plus;b_%7Bv2%7D@plus;c_%7Bv3%7D%7D%7B%7D" target="_blank"><br />
</a>
<br />
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csin%20%5Calpha%20=%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bv_%7Br%7D%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7Bw_%7B%5Cpi%20%7D%7D%7D%7B%20%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Bv_%7Br%20%7D%7D%20%5Cright%20%5C%7C%5Ccdot%20%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Bw_%7B%5Cpi%20%7D%7D%20%5Cright%20%5C%7C%7D%5CRightarrow%20%5Calpha%20=%5Carcsin%20%5Cfrac%7Ba_%7Bv%7D+b_%7Bv2%7D+c_%7Bv3%7D%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D+c%5E%7B2%7D%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7Bv_%7B1%7D%5E%7B2%7D+v_%7B2%7D%5E%7B2%7D+v_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7D" title="\sin \alpha =\frac{\vec{v_{r}}\cdot \vec{w_{\pi }}}{ \left \|
\vec{v_{r }} \right \|\cdot \left \| \vec{w_{\pi }} \right
\|}\Rightarrow \alpha =\arcsin
\frac{a_{v}+b_{v2}+c_{v3}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\cdot
\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}" />
<p>
</p>
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